Często w życiu natrafiamy na sprawy przeczące intuicji. Bardzo podobnie jest w świecie MATEMATYKI. Podamy dwa proste, ale bardzo sprzeczne z intuicją przykłady paradoksów związanych z rachunkiem prawdopodobieństwa, czyli z określaniem szans na pewne zdarzenia.

1. Paradoks synów

Załóżmy, że mamy następującą sytuację: nasz daleki krewny ma dwójkę dzieci. Nasza mama powiedziała nam, że ten krewniak na pewno ma jednego syna, ale nie zna płci drugiego dziecka. Zastanawiamy się teraz jaka jest szansa na to, że ten krewniak ma dwóch synów. Intuicja podpowiada nam, że przecież ta szansa to 50%, ponieważ drugie dziecko to albo chłopiec, albo dziewczynka. Okazuje się jednak, że tak nie jest. Uzasadnimy ten paradoks za pomocą „pudełek” z literami oznaczającymi płeć dziecka (zbiór zdarzeń elementarnych).

Skoro wiemy, że jedno dziecko naszego dalekiego krewniaka to syn, to wszystkie możliwości (zdarzenia elementarne) określające kolejność płci posiadanych dzieci przez tego krewnego są następujące:

S – syn, C – córka (po lewej stronie jest litera oznaczająca płeć starszego dziecka, po prawej – młodszego)

Mamy więc trzy jednakowo prawdopodobne „pudełka”. Nam chodzi o wybranie pudełka SS, więc szansa na wylosowanie tego pudełka jest równa 1/3, czyli około 33%.

2. Paradoks synów, cd.

Znając już wcześniejszy paradoks synów, zastanówmy się nad inną sytuacją.

Nasz daleki krewny ma dwójkę dzieci. Nasza mama powiedziała nam, że krewniakowi przed chwilą narodził się synek – Michałek, ale nie zna płci drugiego dziecka. Zastanawiamy się teraz, jaka jest szansa na to, że ten krewniak ma dwóch synów. Intuicja podpowiada nam, że przecież ta szansa to 50%, ale we wcześniej opisanym paradoksie szansa jednak pomimo wszystko wynosiła 33%. Więc jak to będzie tutaj? Do rozwiania możemy dojść, analogicznie jak wcześniej, metodą „pudełek”:

Skoro jest pewne, że przed chwilą narodził się Michałek, to wszystkie możliwości (zdarzenia elementarne) określające kolejność płci posiadanych dzieci przez naszego dalekiego krewnego są następujące:

S – syn, C – córka (po lewej stronie jest litera oznaczająca płeć starszego dziecka, po prawej – młodszego)

Mamy więc dwa jednakowo prawdopodobne „pudełka”. Nam chodzi o wybranie pudełka S Michał, więc szansę na wylosowanie tego pudełka jest równa 1/2, czyli 50%.

Co wpłynęło na to, że tym razem prawdopodobieństwo jest takie, jakie podpowiada nam nasza intuicja? Na pewno nie ma związku z tym imię dziecka – Michał, sprawia to fakt, że jest to młodszy syn, wtedy prawdopodobieństwo tego, że starsze dziecko jest również chłopcem wynosi, zgodnie z intuicją, 50% (albo chłopak albo dziewczyna). W pierwszym paradoksie synów, przy znajomości płci jednego dziecka, zatajamy informację o tym,  czy jest to młodsze, czy starsze dziecko, co wpływa na szansę równą ok. 33%, że nasz daleki krewniak ma dwóch synów.

3. Paradoks Zygmunta Chajzera („Idź na całość”)

W świecie jest znany pod nazwą paradoksu Monty Halla – od prezentera w teleturnieju „Let’s make a deal” emitowanego w Stanach Zjednoczonych. Polskim odpowiednikiem tego teleturnieju był teleturniej „Idź na całość” prowadzony przez Zygmunta Chajzera, dlatego tak nazywam ten paradoks.

Zasady gry są następujące:

• Mamy trzy bramki: A,B,C. Wszystkie są zasłonięte i nie widać, co kryją.
• Za jedną z bramek jest wygrana (np. samochód), za dwiema pozostałymi nie ma nic szczególnie cennego (w polskiej edycji była to maskotka nazwana Zonk, przedstawiająca kota w worku).
• Wybieramy jedną bramkę, dajmy na to bramkę A.
• Prowadzący (wszechwiedzący) wtedy otwiera jedną z pozostałych bramek, dajmy na to np. C, pokazując, że za nią jest Zonk. Zadaje pytanie: Czy pozostajesz przy wybranej przez siebie bramce, czy może chcesz zmienić bramkę na drugą, nadal nieodsłoniętą, bramkę B?

Co należałoby zrobić, by jak najbardziej zwiększyć swoją szansę na wygranie samochodu?

• Pozostać przy wybranej przez nas bramce?
• Zmienić bramkę na drugą nieodsłoniętą?
• Nie ma to żadnego znaczenia, bo teraz niezależnie od naszego wyboru prawdopodobieństwo wynosi 50%, że samochód jest za jedną z bramek.

Intuicja podpowiada, żeby wybrać trzecią opcję – nasz umysł ocenia tę sytuację tak: nie ma żadnego znaczenia, którą bramkę wybierzemy, ponieważ teraz mamy 50% szans na to, że samochód jest za wybraną przez nas bramką oraz 50% szans na to, że jest za drugą bramką. Intuicja, jak to przy paradoksach, znów nas zawodzi. Przekonajmy się, wybór której sytuacji skutkuje większym prawdopodobieństwem wygrania nagrody.

Rozpiszmy (w tabeli) trzy jednakowo prawdopodobne możliwości, które wiążą się z takim wyborem (zakładamy, bez straty ogólności, że wybraliśmy na początku bramkę A):

Patrząc na kolumny 4 i 5 w powyższej tabeli, możemy sformułować następujące wnioski:

• jeżeli będziemy zmieniać bramkę (patrz kolumna 5), to szansa na wygraną wynosi 2/3, czyli w przybliżeniu 67% (w dwóch na trzy sytuacje wygrywamy samochód),
• jeżeli natomiast, pozostaniemy przy wybranej na początku przez siebie bramce A (patrz kolumna 4) szansa na wygraną wynosi tylko 1/3, czyli około 33% (tylko w jednej na trzy sytuacje wygrywamy samochód).

Zastanówmy się, dlaczego tak jest. Gdy na początku wybralibyśmy Zonka (szansa jego wylosowania na samym początku wynosi 2/3 (około 67%) – bo Zonki są dwa w trzech bramkach), a następnie prowadzący, odsłaniając bramkę, zgodnie z regułami gry, musi odsłonić drugiego Zonka, to znaczy za drugą nieodkrytą bramką będzie się znajdowała nagroda. Zmieniając wówczas bramkę, szansa na wygranie samochodu jest równa wylosowaniu Zonka na początku, czyli będzie wynosiła 2/3.

A jeśli na początku wybraliśmy samochód? No cóż, wtedy zmieniając bramkę, wybieramy Zonka, ale szansa „przegrania” wynosi wówczas tylko 1/3, czyli około 33%.

Podsumowując, zmieniając pierwszą decyzję po odkryciu przez prowadzącego bramki z Zonkiem, zwiększamy prawdopodobieństwo wygranej o 1/3, pozostając przy swojej pierwotnej decyzji mamy tylko 1/3 szansy na samochód. Takie rozwiązanie nie jest zgodne z intuicją większości z nas, ale zgodne z rachunkiem prawdopodobieństwa.

Tekst: Michał Zwierzyński

Fot. Leo Grüble, źródło: https://www.flickr.com/photos/leo-gruebler/7839960472/, dostęp: 27.02.15