Eduscience

Eduscience

Do paradoksów dotyczących nieskończoności należy seria dziwnych zdarzeń w hotelu Hilberta…

Na początku XX wieku Dawid Hilbert był jednym z czołowych matematyków świata. Zajmował się logicznymi podstawami matematyki, a szczególnie interesował się nieskończonością. Paradoks Hilberta, hotelu Hilberta lub Grand Hotelu Dawid Hilbert opisał w celu pokazania trudności w intuicyjnym rozumieniu liczby elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów.

Otóż hotel Hilberta ma nieskończenie wiele pokoi, ponumerowanych 1, 2, 3, 4 itd. – numeracja obejmuje wszystkie dodatnie liczby całkowite.

W pewien długi weekend wszystkie miejsca w hotelu były zajęte. W recepcji zjawił się podróżnik bez rezerwacji i poprosił o pokój. W każdym hotelu ze skończoną liczbą pokoi , choćby największą, podróżnik miałby pecha – ale nie w Hotelu Hilberta.

– Nie ma problemu – powiedział kierownik. – Poproszę gościa z pokoju 1, żeby przeniósł się do pokoju 2, gościa z pokoju 2, żeby przeszedł do pokoju 3, osobę z pokoju 3 przeniesiemy do pokoju 4 itd. Osoba z pokoju n przeprowadzi się do pokoju n+1 itd. Wtedy pokój 1 się zwolni, więc będę mógł go dać panu.

Taka sztuczka działa w nieskończonym hotelu. W hotelu skończonym – nie, bo osoba w pokoju o najwyższym numerze nie ma dokąd się przenieść. Ale w hotelu Hilbetra nie ma najwyższego numeru pokoju. Problem rozwiązany.

Dziesięć minut później przyjechał autokar z nieskończenie wieloma pasażerami, siedzącymi na miejscach 1, 2, 3, 4... itd.

– Hm, nie pomieszczę państwa, prosząc pozostałych gości, żeby przenieśli się o parę pokoi dalej – powiedział kierownik. – Nawet gdyby wszyscy przenieśli się o milion miejsc dalej, to zwolniłoby się tylko milion pokoi. – Zastanawiał się przez chwilę. – A jednak uda mi się państwa przyjąć. Poproszę osobę z pokoju 1, żeby przeniosła się do pokoju 2, gościa z dwójki, żeby przeprowadził się do czwórki, tego z trójki przeniesiemy do szóstki itd. Osoba z pokoju n przeniesie się do pokoju 2n.

W ten sposób zwolnią się wszystkie pokoje z numerami nieparzystymi (będzie ich nieskończenie wiele), więc teraz pasażer z miejsca 1 w państwa autobusie może zająć pokój 1, osoba z miejsca 2 – pokój 3,ta z miejsca 3 – pokój 5 itd. Pasażer z miejsca n dostanie pokój 2n–1.

Na tym jednak jeszcze nie koniec kłopotów kierownika. Dziesięć minut później z przerażeniem dojrzał nieskończenie wiele autobusów, wjeżdżających na hotelowy (nieskończony) parking, a w każdym autobusie siedziało nieskończenie wielu pasażerów.

Wybiegł im na spotkanie.

– Mamy komplet, ale jeszcze mogę was wszystkich pomieścić!

– Jak? – zapytał kierowca autobusu 1.

– Sprowadzę was do problemu, który już rozwiązałem – oznajmił kierownik. – proszę przenieść wszystkich do autobusu 1.

– Ale autobus 1 jest pełny! A pozostałych autobusów jest nieskończenie wiele!

– Nic nie szkodzi. Ustawcie wszystkie autobusy obok siebie i przenumerujcie miejsca metodą przekątniową, jak na poniższym rysunku.

– I co nam to da? – zapytał kierowca.

– Nic, na razie. Ale niech pan popatrzy: każdy pasażer w każdym z waszych nieskończenie wielu autobusów dostaje nowy numer. Każdy numer występuje dokładnie raz.

– No i?

– Przenieście każdego pasażera na miejsce w autobusie 1, odpowiadające jego nowemu numerowi.

– Kierowca posłuchał. Wszyscy przesiedli się do autobusu 1, a pozostałe autobusy były puste, więc odjechały.

 – Teraz mam komplet w hotelu i tylko jeden nadprogramowy autobus – powiedział kierownik. – A z tym już umiem sobie poradzić.

 

Opracowanie: Jadwiga Kalabińska

W załączeniu – prezentacja z powyższym tekstem – wykonana przez J. Kalabińską.



Wykorzystano:

Stewart I., Gabinet zagadek matematycznych.

Fot. fdecomite, źródło: https://www.flickr.com/photos/fdecomite/2095510257/in/album-72157603409319429/, dostęp: 13.04.2016



Załączniki

2 Krajowa Konferencja Scientix "Dobre praktyki STEM"

Serdecznie zapraszamy na 2. Krajową Konferencję Scientix „Dobre Praktyki STEM” dla nauczycieli przedmiotów matematyczno-przyrodniczych, która odbędzie się w dn. 23-24.11.2018 r. w Warszawie. Zapisy właśnie ruszyły, a organizatorzy jak zwykle…

Czytaj więcej

Webinaria Scientix dla nauczycieli

Serdecznie zapraszamy na webinaria dla nauczycieli przedmiotów przyrodniczych. W cztery kolejne środy o godzinie 15.00 zabierzemy Państwa w podróż do świata nauki. Pokażemy ciekawe materiały do pracy z uczniami i zaprezentujemy różne sposoby…

Czytaj więcej

Zdrowe opalanie, czyli jakie?

Jak długo mogę się dziś opalać? To pytanie zadajemy sobie szczególnie w bardzo słoneczne dni. Czy możliwe jest wyznaczenie czasu opalania, w którym naszemu organizmowi dostarczymy dawkę promieniowania potrzebną do wytworzenia witaminy D3, a jednocześnie…

Czytaj więcej

Wakacyjna lektura dla nauczycieli

Zachęcamy do wpisania na swoją wakacyjną listę lektur dwóch nowych raportów dotyczących edukacji przyrodniczej. To idealne lektury letnie dla tych wszystkich, którzy zainteresowani są nauczaniem STEM oraz wykorzystaniem gier w nauczaniu!

Czytaj więcej