Do paradoksów dotyczących nieskończoności należy seria dziwnych zdarzeń w hotelu Hilberta…
Na początku XX wieku Dawid Hilbert był jednym z czołowych matematyków świata. Zajmował się logicznymi podstawami matematyki, a szczególnie interesował się nieskończonością. Paradoks Hilberta, hotelu Hilberta lub Grand Hotelu Dawid Hilbert opisał w celu pokazania trudności w intuicyjnym rozumieniu liczby elementów zbioru z nieskończoną liczbą elementów.
Otóż hotel Hilberta ma nieskończenie wiele pokoi, ponumerowanych 1, 2, 3, 4 itd. – numeracja obejmuje wszystkie dodatnie liczby całkowite.
W pewien długi weekend wszystkie miejsca w hotelu były zajęte. W recepcji zjawił się podróżnik bez rezerwacji i poprosił o pokój. W każdym hotelu ze skończoną liczbą pokoi , choćby największą, podróżnik miałby pecha – ale nie w Hotelu Hilberta.
– Nie ma problemu – powiedział kierownik. – Poproszę gościa z pokoju 1, żeby przeniósł się do pokoju 2, gościa z pokoju 2, żeby przeszedł do pokoju 3, osobę z pokoju 3 przeniesiemy do pokoju 4 itd. Osoba z pokoju n przeprowadzi się do pokoju n+1 itd. Wtedy pokój 1 się zwolni, więc będę mógł go dać panu.
Taka sztuczka działa w nieskończonym hotelu. W hotelu skończonym – nie, bo osoba w pokoju o najwyższym numerze nie ma dokąd się przenieść. Ale w hotelu Hilbetra nie ma najwyższego numeru pokoju. Problem rozwiązany.
Dziesięć minut później przyjechał autokar z nieskończenie wieloma pasażerami, siedzącymi na miejscach 1, 2, 3, 4... itd.
– Hm, nie pomieszczę państwa, prosząc pozostałych gości, żeby przenieśli się o parę pokoi dalej – powiedział kierownik. – Nawet gdyby wszyscy przenieśli się o milion miejsc dalej, to zwolniłoby się tylko milion pokoi. – Zastanawiał się przez chwilę. – A jednak uda mi się państwa przyjąć. Poproszę osobę z pokoju 1, żeby przeniosła się do pokoju 2, gościa z dwójki, żeby przeprowadził się do czwórki, tego z trójki przeniesiemy do szóstki itd. Osoba z pokoju n przeniesie się do pokoju 2n.
W ten sposób zwolnią się wszystkie pokoje z numerami nieparzystymi (będzie ich nieskończenie wiele), więc teraz pasażer z miejsca 1 w państwa autobusie może zająć pokój 1, osoba z miejsca 2 – pokój 3,ta z miejsca 3 – pokój 5 itd. Pasażer z miejsca n dostanie pokój 2n–1.
Na tym jednak jeszcze nie koniec kłopotów kierownika. Dziesięć minut później z przerażeniem dojrzał nieskończenie wiele autobusów, wjeżdżających na hotelowy (nieskończony) parking, a w każdym autobusie siedziało nieskończenie wielu pasażerów.
Wybiegł im na spotkanie.
– Mamy komplet, ale jeszcze mogę was wszystkich pomieścić!
– Jak? – zapytał kierowca autobusu 1.
– Sprowadzę was do problemu, który już rozwiązałem – oznajmił kierownik. – proszę przenieść wszystkich do autobusu 1.
– Ale autobus 1 jest pełny! A pozostałych autobusów jest nieskończenie wiele!
– Nic nie szkodzi. Ustawcie wszystkie autobusy obok siebie i przenumerujcie miejsca metodą przekątniową, jak na poniższym rysunku.
– I co nam to da? – zapytał kierowca.
– Nic, na razie. Ale niech pan popatrzy: każdy pasażer w każdym z waszych nieskończenie wielu autobusów dostaje nowy numer. Każdy numer występuje dokładnie raz.
– No i?
– Przenieście każdego pasażera na miejsce w autobusie 1, odpowiadające jego nowemu numerowi.
– Kierowca posłuchał. Wszyscy przesiedli się do autobusu 1, a pozostałe autobusy były puste, więc odjechały.
– Teraz mam komplet w hotelu i tylko jeden nadprogramowy autobus – powiedział kierownik. – A z tym już umiem sobie poradzić.
Opracowanie: Jadwiga Kalabińska
W załączeniu – prezentacja z powyższym tekstem – wykonana przez J. Kalabińską.Wykorzystano:
Stewart I., Gabinet zagadek matematycznych.
Fot. fdecomite, źródło: https://www.flickr.com/photos/fdecomite/2095510257/in/album-72157603409319429/,
dostęp: 13.04.2016
