Eduscience

Eduscience

W tytule występuje oczywiście liczba 2015, przedstawiona w postaci sumy czterech kwadratów liczb całkowitych. Matematycy często dla zabawy używają tego rodzaju przedstawień, składając życzenia noworoczne lub urodzinowe.


Gdy widzimy tego rodzaju zapis, nasuwa się naturalne pytanie: reguła czy wyjątek?

To znaczy – czy możliwość przedstawienia liczby naturalnej w postaci sumy kwadratów czterech liczb całkowitych (krócej: sumy czterech kwadratów) jest jakąś wyjątkową własnością, którą mają tylko niektóre liczby, w tym 2015, czy może to być „uniwersalna” własność wszystkich liczb naturalnych?

Okazuje się, że w tym przypadku mamy do czynienia z tą drugą możliwością. W 1770 roku Joseph Louis Lagrange udowodnił, że każda liczba naturalna jest sumą czterech kwadratów.

Nasuwa się teraz kolejne pytanie: czy nie wystarczą trzy kwadraty? Okazuje się, że nie – łatwo zauważyć, że np. liczby 7 nie przedstawimy w postaci sumy trzech kwadratów. W takim razie można postawić problem scharakteryzowania wszystkich liczb naturalnych, których nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów. Po raz pierwszy rozstrzygnął go Adrien-Marie Legendre około 1798 roku. Udowodnił on, że liczby, których nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów, to wyłącznie liczby postaci 4ª(8b+7), gdzie a i b są liczbami całkowitymi nieujemnymi (np. dla a=b=0 otrzymujemy liczbę 7 – wspomniany wcześniej przykład najmniejszej liczby, której nie da się przedstawić w postaci sumy trzech kwadratów). Oto 10 najmniejszych takich liczb: 7, 15, 23, 28, 31, 39, 47, 55, 60, 63.

Niektóre liczby naturalne są sumami dwóch kwadratów. Tu charakteryzacja była znana dawniej: nieparzysta liczba pierwsza jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy daje ona z dzielenia przez 4 resztę 1 (twierdzenie Pierre de Fermata z 1640 roku, wcześniej taką hipotezę postawił Albert Girard), a stąd można wywnioskować, że liczba naturalna n jest sumą dwóch kwadratów wtedy i tylko wtedy, gdy w rozkładzie liczby n na czynniki pierwsze każdy dzielnik pierwszy dający z dzielenia przez 4 resztę 3 występuje z parzystym wykładnikiem.

Przykłady:

Liczba n = 13 068, której rozkład na czynniki pierwsze jest następujący:

n = 2² · 3³ · 11² nie jest sumą dwóch kwadratów, ponieważ liczba 3 (która dzielona przez 4 daje resztę 3) ma wykładnik nieparzysty.

Liczbę n = 4356 można zapisać w postaci sumy dwóch kwadratów, ponieważ jej rozkład na czynniki pierwsze jest następujący: n = 2² · 3² · 11² (wykładniki przy liczbach 3 i 11 są parzyste).

Zachęcamy Czytelników do sprawdzenia, czy liczba 2015 jest sumą dwóch lub trzech kwadratów i do znalezienia kilku innych niż podany w tytule rozkładów na sumę czterech kwadratów.

Na zakończenie dwie ciekawostki:

  • O powyższym odkryciu Fermat poinformował w liście swojego przyjaciela Marina Mersenne (zakonnika i filozofa, ale też matematyka). Na liście tym widniała data 25 grudnia 1640 roku. Z tego powodu twierdzenie Fermata o sumach dwóch kwadratów bywa nazywane „świątecznym twierdzeniem Fermata” (ang. Fermat's Christmas Theorem).
  • Dla matematyków (a także dla specjalistów z dziedzin pokrewnych, np. kryptografii) najważniejsze z wymienionych są dwa twierdzenia: Fermata (o sumach dwóch kwadratów) i Lagrange'a (o sumach czterech kwadratów). Twierdzenie Legendre'a (o sumach trzech kwadratów) jest ciekawym osiągnięciem uzupełniającym tę wiedzę, ale nie odgrywa tak znaczącej roli.

 

Tekst: Krzysztof Kamiński

 

Bibliografia:

[1] K. Kamiński, Od ciekawostek do konkursu matematycznego, Aksjomat, Toruń 2015..

[2] http://en.wikipedia.org/wiki/Lagrange%27s_four-square_theorem

[3] http://pl.wikipedia.org/wiki/Joseph_Louis_Lagrange

[4] http://en.wikipedia.org/wiki/Fermat%27s_theorem_on_sums_of_two_squares

Fot. Mateusz Kamiński, źródło: https://www.flickr.com, dostęp: 08.01.15

2 Krajowa Konferencja Scientix "Dobre praktyki STEM"

Serdecznie zapraszamy na 2. Krajową Konferencję Scientix „Dobre Praktyki STEM” dla nauczycieli przedmiotów matematyczno-przyrodniczych, która odbędzie się w dn. 23-24.11.2018 r. w Warszawie. Zapisy właśnie ruszyły, a organizatorzy jak zwykle…

Czytaj więcej

Webinaria Scientix dla nauczycieli

Serdecznie zapraszamy na webinaria dla nauczycieli przedmiotów przyrodniczych. W cztery kolejne środy o godzinie 15.00 zabierzemy Państwa w podróż do świata nauki. Pokażemy ciekawe materiały do pracy z uczniami i zaprezentujemy różne sposoby…

Czytaj więcej

Zdrowe opalanie, czyli jakie?

Jak długo mogę się dziś opalać? To pytanie zadajemy sobie szczególnie w bardzo słoneczne dni. Czy możliwe jest wyznaczenie czasu opalania, w którym naszemu organizmowi dostarczymy dawkę promieniowania potrzebną do wytworzenia witaminy D3, a jednocześnie…

Czytaj więcej

Wakacyjna lektura dla nauczycieli

Zachęcamy do wpisania na swoją wakacyjną listę lektur dwóch nowych raportów dotyczących edukacji przyrodniczej. To idealne lektury letnie dla tych wszystkich, którzy zainteresowani są nauczaniem STEM oraz wykorzystaniem gier w nauczaniu!

Czytaj więcej