Piątek trzynastego jest dniem uznawanym przez wiele osób za pechowy, podobnie jak czarny kot przebiegający przez drogę. Dzisiaj zadajemy pytanie: ile razy w roku może wystąpić taki dzień?
Dla matematyków nie jest zagadką ani loterią, ile razy 13 dzień miesiąca wypada w piątek w ciągu roku. To zwykłe obliczenia.
Można je rozpocząć od oznaczenia dni tygodnia liczbami, np. zaczynając od niedzieli, liczby: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6: niedziela – 0, poniedziałek – 1, ... , sobota – 6. Następnie należy sprawdzić, ile dni upływa między kolejnymi trzynastymi dniami miesiąca (w latach zwykłych 27, 30 lub 31, a w latach przestępnych 28, 30 lub 31). Następnie ułożyć odpowiednią zależność, dotyczącą reszty z dzielenia liczby dni upływających między kolejnymi 13 dniami miesiąca przez 7 (tyle jest dni w tygodniu), po czym zliczyć te, dla których resztą z dzielenia jest liczba 5 (oznaczająca w naszym rozumowaniu piątek). Oczywiście zależność ta musi być zapisana w sposób uniwersalny, tzn. tak, aby można było zliczyć liczbę piątków wypadających 13 w siedmiu sytuacjach (gdy rok rozpoczyna się od niedzieli, poniedziałku, wtorku, środy, czwartku, piątku lub soboty). Dodatkową trudnością jest istnienie lat przestępnych. Na pierwszy rzut oka wydaje się, że obliczenia będą trudne, ale nie dla matematyków.
W załączeniu
przedstawiamy matematyczne rozważania dydaktyka EDUSCIENCE – Krzysztofa Kamińskiego.
Konkluzje są następujące:
1. W każdym roku piątek trzynastego występuje co najmniej raz i co najwyżej trzy razy.
2. W roku zwykłym piątek trzynastego występuje:
– raz – gdy 13 stycznia wypada w poniedziałek, środę lub czwartek
– dwa razy – gdy 13 stycznia wypada w piątek lub niedzielę
– trzy razy – gdy 13 stycznia wypada we wtorek. Dodatkowo – jeśli 13 stycznia roku zwykłego wypada we wtorek, to w lutym, marcu i listopadzie będzie piątek trzynastego.
3. W roku przestępnym piątek trzynastego występuje:
– raz – gdy 13 stycznia wypada w środę, czwartek lub niedzielę;
– dwa razy – gdy 13 stycznia wypada w poniedziałek, wtorek lub sobotę;
– trzy razy – gdy 13 stycznia wypada w piątek, dodatkowo – jeśli 13 stycznia roku przestępnego wypada w piątek, to jeszcze w kwietniu i lipcu będzie piątek trzynastego.
W zrozumieniu tekstu z załącznika pomocne mogą być następujące informacje:
– modulo – w informatyce operacja wyznaczania reszty z dzielenia, w tym wypadku jednej liczby przez drugą, np. zapis a ≡ b (mod c) oznacza, że b jest resztą z dzielenia a przez c; przykład: 30 ≡ 2 (mod 7)
– znak „≡” to znak kongruencji (a. przystawania)
Źródło zdjęcia:
Fot. Chosovi, źródło: http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Ojos_de_gato.JPG
